Nel sacchetto della tombola inserisco solo 4 numeri da 1 a 4. Ne estraggo due e li segno sul tabellone (di cui mi interessano solo i primi 4 numeri).
Ripongo i due numeri estratti nel sacchetto, mescolo per bene e faccio una nuova estrazione di due numeri. Procedo come prima, segnando in aggiunta sul tabellone gli eventuali nuovi numeri non ancora precedentemente usciti, reinserendo poi i due numeri nel sacchetto, mescolando, estraendo di nuovo due numeri e così via fino a quando non ho completato il tabellone di 4 numeri.
Quante pescate dovrò fare in media per terminare tutta l'operazione?
La mia soluzione.
La prima estrazione copre sicuramente due numeri sul tabellone, supponiamo siano 1 e 2, rimangono 3 e 4 da coprire con le estrazioni successive.
Le estrazioni possibili sono ogni volta: 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4. 6 in totale.
Chiamo e_2 il numero di estrazioni necessarie per coprire i due buchi attualmente rimasti, in generale e_n è il numero di estrazioni necessarie per coprire n buchi.
per il calcolo di e_2
se estraggo 3-4 (1 volta su 6) avrò finito con 1 estrazione
se estraggo 1-2 (1 volta su 6) avrò fatto un'estrazione e devo ancora farne e_2
se estraggo un'altra combinazione (4 volte su 6) avrò fatto un'estrazione, coperto un solo numero e mi rimarranno e_1 estrazioni da fare
per il calcolo di e_1 (supponendo che sia rimasto da coprire il 4)
se esce una combinazione che contiene il 4 (3 volte su 6) con un'estrazione ho finito
se esce una combinazione che non contiene il 4 (3 volte su 6) ho fatto un'estrazione e devo ancora farne e_1
queste due cose messe in formula diventano:
e_2 = 1/6 * 1 + 1/6 * (1 + e_2) + 4/6 * (1 + e_1)
e_1 = 3/6 * 1 + 3/6 * (1 + e_1)
la e_1 si calcola direttamente e vale 2 (si può anche ragionare pensando che se 1 volta su 2 lo copro e 1 su 2 non lo copro è come testa o croce, serviranno in media 2 lanci (estrazioni) per coprire il numero)
sostituendo e_1 nella e_2 si trova e_2 = 14/5 = 2.8
Quindi 2.8 estrazioni in media per coprire i due buchi rimasti dopo la prima estrazione fa 3.8 = 19/5 estrazioni in totale.
Qualche considerazione: non riesco a trovare formule o metodi più diretti per giungere alla soluzione ma è probabile che ci siano. E' evidente che le difficoltà nel trovare il risultato aumentano con l'aumentare del numero n dei numeri totali e del numero k dei numeri che estraggo ogni volta. Sicuramente si può scrivere un programma (non l'ho fatto e non penso di farlo) che faccia i calcoli per noi, sfruttando il fatto che ogni e_x si basa su se stesso e i precedenti (e_x-1, e_x-2 ecc.) e quindi partendo da e_1 e andando a ritroso ognuno fornisce i risultati per il successivo.
Un caso più semplice da affrontare (in modo diverso direi) è quello in cui n può essere grande ma k vale invece 1. In questo modo a ogni estrazione abbiamo solo due possibilità: o si copre un numero nuovo oppure no
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