Per qualsiasi valore di n:
n!=∫(0,∞) (x^n*e^-x) dx
nel nostro caso n=1/2
(1/2)!=∫(0,∞) (√x*e^-x) dx
L'integrale indefinito fa:
∫(√x*e^-x)dx=-e^-x√x+√π/2 erf(√x) +c
quindi il definito risulta:
(1/2)!=lim x->∞(-e^-x√x+√π/2 erf(√x))-
-lim x->0(-e^-x√x+√π/2 erf(√x))
(1/2)!=√π/2-0
(1/2)!=√π/2
(erf(x)=funzione di errore)
La definizione della funzione Γ di Euler come estensione del fattoriale a numeri arbitrari è un processo molto interessante. L'idea di base è: si può generalizzare il fattoriale a numeri non interi? Ovviamente ci sono tantissime funzioni interpolanti che passano per i punti (n,n!). Quale tra tutte queste estensioni è la più logica e naturale?
Una delle proprietà fondamentali del fattoriale è che n! = n·(n-1)! - si vede che questa proprietà si può applicare anche a numeri non interi, per cui si richiede alla funzione interpolante di rispettare questa condizione. Inoltre, vogliamo che 0! = 1.
Purtroppo neppure così la funzione interpolante risulta unica. Bisogna aggiungere un paio di condizioni "tecniche", cioè che la funzione sia analitica (ossia regolare sul campo complesso) e "log-convessa" (cioè il suo logaritmo deve essere una funzione convessa).
Con queste condizioni, l'estensione del fattoriale è univoca e si ritrova la funzione Γ di Euler, che vale per tutti i numeri complessi (addirittura), con l'eccezione degli interi negativi. Il fatto che non sia definita in -1 è evidente, dato che Γ(0) = 0·Γ(-1) per la proprietà fondamentale.
La funzione Γ compare un po' come il prezzemolo in analisi reale e complessa.