Per quali numeri primi p l'equazione diofantea x² - py² = -1 possiede infinite soluzioni?
La
x²-py²=-1 (1)
possiede infinite soluzioni per i primi p della forma
p=4k + 1
che si possono esprimere in modo unico come somma di due quadrati e per il primo pari 2
si dimostra che nota la soluzione fondamentale della
x²-py²=1 (2)
sia (2a²+1, 2ab), a b coprimi
la soluzione fondamentale della (1) è
(a,b)
e la (1) possiede infinite soluzioni
definite dalla formula ricorsiva
xₙ₊₁=(2a²+1)xₙ+2abpyₙ
yₙ₊₁=2abxₙ+(2a²+1)yₙ
ogni primo della forma 4k+1 per un teorema dovuto a Fermat (teorema di Natale) si può esprimere in modo unico come somma di due quadrati.
se (x₀,y₀) è sol. di
x²-py²=1 (con p=4k+1)
allora
x₀²-py₀²=1
usando la congruenza mod 4 potendo scriverla
(x₀+1)(x₀-1)=py₀²
e dovendo essere x₀ y₀ di parità opposte
x₀²-1=py₀²
y₀ deve essere pari
(se fosse dispari avremmo un assurdo x₀ pari mentre x₀ è dispari)
ne consegue y₀=2ab con a b coprimi
gcd(x₀+1, x₀-1)=2
quindi sono possibili due sistemi
x₀+1=2pb²
x₀-1=2a²
x₀+1=2b²
x₀-1=2pa²
ma il secondo è impossibile riporta alla pell positiva b²-pa²=1
invece il primo conduce alla
a²-pb²=-1
quindi - teorema - la eq.ne di pell negativa
x²-py²=-1
con p=4k+1 primo possiede sempre infinite soluzioni intere di cui la fondamentale è (a,b) con la pell positiva corrispondente
x²-py²=1
dotata di soluzione (2a²+1, 2ab) ( e la pell positiva ha sempre soluzioni)
About Post Author
