perchè 0 fattoriale è uguale a 1? esiste una prova matematica di base pura?
La motivazione è (intuitivamente) la seguente:
n!=(n+1)!/(n+1)
...
3!=4!/4=6
2!=3!/3=2
1!=2!/2=1
0!=1!/1=1
Anche, se in realtà può essere chiarito meglio scrivendo (n+1)!=(n+1)n!, quindi per essere 1 il fattoriale di 1, deve essere 1 il fattoriale di 0.
Bella idea davvero. Da questa si deduce anche la divergenza per i fattoriali negativi
Oltre all’argomento combinatorio, ecco qui un altro modo di vedere il perché. Sì parte notando che, per ogni numero intero n > 1, si ha:
n! = n·(n-1)!.
Per esempio 4! = 4·3·2·1 = 4·(3·2·1) = 4·3!.
Questa relazione viene considerata fondamentale e di fatto può essere usata come una definizione alternativa, più astratta, del fattoriale.
Usando questa formula, si capisce perché 0! = 1. Infatti, se pretendiamo che la relazione n! = n·(n-1)! valga anche nel caso n = 1, otteniamo:
1! = 1·(1-1)! = 1·(0!) = 0!,
che è quel che volevamo trovare:
0! = 1.
Voglio rimarcare che si tratta di una definizione, perché la relazione n! = n·(n-1)! ha senso solo per n > 1 e non per n = 1. La definizione 0! = 1 permette di preservare la validità di questa relazione anche per n = 1.
Basta ricordare che il fattoriale di un generico numero n, che indichiamo con n! con n un qualsiasi numero naturale (n∈ℕ), è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali ad n \ {0}, ovvero n!:= n(n-1)(n-2)....•1. Ma notando che il prodotto da (n-1) in poi altro non è che a sua volta il fattoriale di tale addendo, si può riformulare la definizione semplicemente come n!:=n(n-1)!. Questo è tutto quello di cui abbiamo bisogno per dimostrare che 0!=1→ facendo il fattoriale di 1, applicando la definizione, ricaviamo che 1!=1(1-1)! = 1=0!
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