perchè 1^(infinito) è indeterminato
1 elevato ad infinito è sempre uguale ad 1.
Se, invece, eleviamo ad infinito una quantità x che ha un valore in un intorno di 1, allora verrà indeterminato.
Proviamo con un approccio leggermente diverso, 1^x=1 per ogni x, ma cosa succede se anziché 1 ci metto un qualcosa di appena leggermente diverso? per x che tende ad infinito 1,00001^x va ad tendente a + infinito mentre 0,99999^x tenderà a 0. Ora se come base anziché un numero metto una quantità che tende ad 1 per x tendente a + infinito ecco che a priori sarà impossibile decretare il risultato del limite, da cui la forma indeterminata, anche se non si può esser d'accordo
E' bene spesso, confondere la matematica con l'aritmetica.
il discorso è volutamente qualitativo e divulgativo, (con il termine qualcosa non intendevo un numero ma una funzione tale che lim x->inf f(x)=1). Per affrontare il discorso è assolutamente necessaria l'analisi e procedere attraverso il calcolo dei limiti. Provo a riscrivere in modo più "decente" il ragionamento espresso prima: posso scrivere senza alcun dubbio che lim x->+inf 1^x=1, altrettanto non vi è dubbio che lim x->inf 1,00000001^x=inf . Ora il problema è quanto fa lim x->inf f(x)^x se lim x->inf f(x)=1+? A priori non posso saperlo poiché non so a priori "quanto rapidamente f(x) tenderà ad 1+" e di conseguenza non ho alcuna idea, e non posso avere idea a priori di come la funzione si comporterà in un intorno di infinito (infatti nel caso di una funzione f(x) siffatta avrò necessariamente una situazione intermedia tra le due e quindi il risultato sarà indecidibile a priori). 1^∞=e^ln(1^∞)=e^(∞⋅0) è chiaramente l'approccio corretto dal punto di vista formale ma nella mia a esperienza da docente (seppure ancora poca) mi sono accorto che spesso è meglio partire da un'idea o modello per capire a tentoni dove si vuole andare a parare dopo di che formalizzare il problema. La formalizzazione è fondamentale ed è la vera matematica, il ragionamento euristico secondo me aiuta a comprendere meglio il significato, una volta capito allora si passa al costrutto formale.
Deduzione:
Se l'1 viene considerato come numero reale e limite di una funzione generica non specificata allora capisco l'indeterminatezza, ma se invece è considerato l'unità dei numeri naturali, allora è evidente che 1×1×1×1×... fa sempre 1 qualunque sia il numero dei fattori, dunque anche infiniti.
Bisogna però sempre capire cosa si intende con questa notazione, perché buttata là fuori da un contesto la risposta potrebbe anche essere "non è vero, fa 1". Infatti, mentre "infinito" l'idea di passaggio al limite la porta con sé, una numero qualsiasi no. Pertanto, se con quella scrittura si intende "il limite di una potenza, in cui la base è una funzione il cui limite proprio è 1, e l'esponente un'altra il cui limite proprio è infinito", allora è indeterminata e occorre vedere caso per caso come queste due funzioni ci vanno al loro limite, se invece si intendesse "il limite di una potenza, in cui la base è 1, numero costante e assegnato, e l'esponente una funzione il cui limite proprio è infinito", allora fa 1 e non c'è indeterminazione
Potremmo non essere d'accordo, su:
Possiamo scrivere
1^∞=e^ln(1^∞)
Per le proprietà dei logaritmi
1^∞=e^∞⋅ln(1)
Essendo ln(1)=0 abbiamo
1^∞=e^∞⋅0
Nel secondo membro all'esponente compare una forma indeterminata e quindi esso è indeterminato. Ne consegue che anche il primo membro è indeterminato.
Ovviamente si può dimostrare che 0⠂∞ è indeterminato perché rimanda a ∞ - ∞ che è indeterminato e anche questo si può dimostrare andando a ritroso.
se 1 è un numero fissato chiaro e netto, anche dal suo ragionamento deriva che 1^(oo)=1, in quanto il ln(1)=0, oo*0=0 [con zero inteso come numero chiaro e definito e non una "tendenza a zero"] ed e^(0)=1.
Se invece la notazione 1^(oo) è il risultato di un limite dove la base TENDE a 1 e l'esponente TENDE a oo, allora la forma è indeterminata.
Credo che:
La prima cosa da rimarcare è che 1^∞ non vuol dire "1×1×1×1×···" infinite volte (che fa ovviamente 1), ma "(qualcosa di vicino ad 1) × (qualcosa di vicino a 1) × (qualcosa di vicino ad 1) × ···" infinite volte.
Mi viene più semplice provare a spiegare la cosa per successioni. Una esempio famoso è (1+1/n)ⁿ il cui limite per n → +∞ fa è, il numero di Nepero. E invece (1-1/n)ⁿ tende a 1/e.
L’idea è che, moltiplicando due numeri > 1 tra di loro, il risultato è più grande di entrambi: 1,1 × 1,1 = 1,21 > 1,1. Al contrario, moltiplicando due numeri minori di 1, il loro prodotto è minore di entrambi: per esempio 0,9 × 0,9 = 0,81. Il numero 1 si trova quindi al “crocevia”: a seconda di quale parte stanno i termini (> 1 oppure < 1), la moltiplicazione ripetuta fa crescere oppure decrescere il risultato. Più vicini ad 1 si trovano i numeri, più piccolo è l’effetto della moltiplicazione: per esempio 1,01×1,01 = 1,0201 è appena più grande di 1,01.
Torniamo all’esempio (1+1/n)ⁿ: tutti i termini (1+1/n) sono > 1, ed elevandoli alla n il risultato cresce:
n = 1: (1+1)¹ = 2;
n = 2: (1+1/2)² = (1+1/2)×(1+1/2) = 9/4 = 2,25;
n = 3: (1+1/3)³ = (1+1/3)×(1+1/3)×(1+1/3) = 64/27 ≈ 2,37;
…
Qui ci sono due effetti in competizione: quanto velocemente la successione si avvicina a 1 (che fa avvicinare ad 1 il risultato della potenza) in relazione alla crescita di n (che fa allontana da 1 il risultato della potenza).
Per esempio il limite di (1+1/n²)ⁿ fa 1 per n → +∞. Questo perché la base si avvicina molto rapidamente a 1, compensando l’effetto della moltiplicazione per un grande n, che tenderebbe a far crescere il risultato lontano da 1.
Considerazioni analoghe valgono per una successione che si mantiene < 1, che in questo caso può rimpicciolirsi sempre di più oppure avvicinarsi a 1.