Perché possiamo scrivere esattamente la misura dell'area di un quadrato di lato unitario, ma non di un cerchio di raggio unitario?
Per colpa del pigreco..!
Questo concetto è legato alla natura dei due oggetti geometrici. Nel caso del quadrato di lato unitario, l'area è semplicemente la lunghezza del lato elevata al quadrato (area = lato × lato), e poiché il lato è di lunghezza unitaria, otteniamo un'area di 1.
Per il cerchio di raggio unitario, l'area è data dalla formula A = πr², dove r è il raggio. Nel caso del raggio unitario, l'area diventa A = π(1)² = π. La presenza di π rende questa misura meno "esatta" in quanto è una costante irrazionale che non può essere rappresentata con precisione come numero decimale finito.
In breve, mentre possiamo esprimere esattamente l'area di un quadrato di lato unitario (1), la stessa precisione non è possibile per il cerchio di raggio unitario, a causa della presenza di π.
L'area è esattamente PiGreco, che è un numero esatto seppur non esprimibile con una espressione decimale finita o periodica.
Voler rappresentare dei semplici numeri irrazionali (ed è un continuo fiorire di post in tal senso) come chissà quali mostri o misteri, dopo millenni dalla loro scoperta, è veramente anacronistico.
Per caratterizzare l'irrazionalità (l'impossibilità di scrivere un numero come rapporto di interi) ci si può comunque limitare al sistema metrico decimale visto che appunto coincide col non avere una rappresentazione decimale finita o periodica.
Ma non è strettamente legata al sistema decimale nel senso che non cambierebbe se scegliessimo un qualsiasi altro sistema posizionale con base intera o razionale. Sta nell'avere una base intera o razionale.
Se scegliessimo invece ad esempio come base proprio piGreco sarebbe semplicemente 1.
La sua trascendenza invece comporta che non si possa scegliere una base irrazionale "non legata già", comunque, a pigreco.
In realtà il quadrato è l’unico poligono regolare di lato unitario la cui area si può esprimere come un numero intero (o razionale).
In questo senso, non è il cerchio, bensì il quadrato, ad essere speciale.
Detto questo, i numeri irrazionali sono un po’ dappertutto. Sempre limitandoci al quadrato, neppure la sua diagonale si può esprimere come multiplo intero del lato.
Precisiamo.
1) Ciò di cui parla il post riguarda l'irrazionalità di pi-greco (dimostrata alla fine del 1700 da Lambert).
2) L'impossibilità di quadrare il cerchio (cioè costruire con la riga ed il compasso un quadrato di area pari a quella del cerchio unitario, ovvero un quadrato di lato pari a radice di pi-greco) deriva dalla trascendenza di pi-greco (dimostrata alla fine del 1800 da Lindemann), visto che tutti i numeri "costruibili" con riga e compasso sono algebrici.
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