Sia d(x) la funzione di Dirichlet che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali; questa funzione è ovunque non continua, non derivabile e neanche integrabile secondo Riemann (ma integrabile secondo Lebesgue, in ogni intervallo limitato, visto che è quasi ovunque nulla).
Siano f(x) = x d(x) e g(x) = x^2 d(x).
Si ha che lim_{x ->0} f(x) = 0, come il valore di f(0). Per dimostrare che il limite in 0 si annulla basta vedere che, per ogni eps>0, trovo un delta>0 tale che, se |x-0|=|x| < delta, allora |f(x)-f(0)|=|f(x)|<eps. Basta scegliere delta tale che 0<delta<eps e si ha che:
|f(x)| <= |x d(x)| <= |x| |d(x)| <= |x| < delta < eps
(|x d(x)| <= |x| perché la d(x) vale al massimo 1)
per cui la f(x) è continua in x=0. In ogni altro punto x_0 la f(x) non è continua perché se il punto x_0 è razionale avremo f(x_0)=x_0 e posso scegliere una successione di irrazionali che tende a x_0 (x_0 + (-1)^n / (n (\sqrt(2)), ad esempio) su cui la funzione f(x) vale 0, e se il punto è irrazionale posso scegliere una successione di razionali (i numeri approssimanti per difetto e per eccesso, ad esempio), su cui la funzione f(x) tende a x_0.
Sulla continuità di g(x)=x^2 d(x) il ragionamento è analogo, e anche questa funzione è continua solo in 0. Per la nozione di derivabilità avremo che:
lim_{x->0} ((g(x)-g(0)/(x-0))= lim_{x->0} ((x^2d(x)/x)) = lim_{x->0} x d(x) = 0
e la funzione g(x) risulta derivabile in 0, mentre negli altri punti non è neanche continua (e quindi non derivabile).
Quindi f(x) è una funzione continua in un solo punto, che risulta di accumulazione nel dominio (R), e g(x) è continua e derivabile in un solo punto, anch'esso di accumulazione nel dominio (R).
un modo più semplice per provare che i limiti necessari fanno zero è usare il teorema dei carabinieri.
0<=|[g(x)-0]/[x-0]|=|f(x)| = |xd(x)|<= |x|-->0;