Consideriamo per prima cosa i numeri primi. La definizione dice che un numero naturale positivo n è un numero primo se ammette come divisori solamente 1 e se stesso. Quindi tutti i numeri primi hanno due divisori fissi: 1 e se stesso. Se un numero non è primo, ha almeno tre divisori.

Prendiamo per esempio un numero primo e moltiplichiamolo per un altro numero primo. 21 è 3x7 e come divisori, oltre a 1 e se stesso, ha ovviamente il 3 e il 7, per cui moltiplicare due numeri primi non va bene. Moltiplichiamo tre primi fra loro e vediamo che succede. 105 è 3x5x7 e come divisori, oltre a 1 e se stesso, ha ovviamente il 3, il 5 e il 7. Ma ha anche tutte le combinazioni fra questi tre numeri, cioè 3x5, 3x7, 5x7. I divisori di 105, pertanto, sono 1,3,5,7,15,21,35,105 e non va bene.

Invece di continuare per tentativi, proviamo a stabilire una regola generale. Un generico numero n, scomponibile in numeri primi con la generica formula p1^a * p2^b * p3^c ... eccetera, ha un numero di divisori pari alla formula: (a+1)*(b+1)*(c+1)* ... eccetera.

Vediamo un esempio con 540 = 2^2 * 3^3 * 5. In base a quella formula, i suoi divisori sono (2+1)*(3+1)*(1+1)=3*4*2=24.

Infatti i divisori sono: 1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,27,30,36,45,54,60,90,108,135,180,270,540.

Per ottenere un numero dispari da quella formula, dato che tutti i termini contengono una somma con uno, bisogna che davanti ci sia un numero pari. Per esempio: (2+1)*(2+1) = 3*3 = 9.

Prendiamo 2^2*3^2 = 36

I divisori devono essere 9 e infatti sono 1,2,3,4,6,9,12,18,36.

In generale, qualsiasi quadrato di un numero primo ha un numero di divisori dispari.

Prendiamo 9. Questo come divisori ha: 1,3,9.

Possiamo prendere anche un quadrato più piccolo: 4 che ha come divisori 1,2,4.