Qual è il massimo numero di lati di un poligono convesso che ha tre, e solo tre, angoli ottusi?
potrei ipotizzare:
Poiché la somma degli angoli interni è (n-2)π, e poiché un angolo ottuso è maggiore di π/2, dobbiamo vedere quando (n-2)π supera 3π/2
Vediamo
n-2>3/2
n>7/2
Servono almeno 4 lati. Gli angoli potranno essere 91°,91°, 91°, 87°, per esempio.
Si chiede il poligono con il massimo numero di lati non il minimo.
il minimo è un quadrilatero, quindi 4, mi pare che sia anche il massimo, questo in geometria piana
avevo disegnato un quadrilatero che rispettava le condizioni ma inserendo altri lati poi non mi veniva rispettata anche la condizione della convessità
Considero due casi, il primo in cui i tre angoli ottusi misurano 91° (caso minimo) e il secondo in cui i tre angoli ottusi misurano 179° (caso massimo).
La somma degli angoli interni di un poligono è (n-2)×180° dove n è il numero dei lati.
1°caso
((n-2)×180°-3×91°)/(n-3)<90°
180°×n-360°-273°<90°×n-270°
90°×n<363°
n<363/90 ---> n=4
2°caso
((n-2)×180°-3×179°)/(n-3)<90°
180°×n-360°-537°<90°×n-270°
90°×n<627°
n<627/90 ---> n=6
Quindi il massimo numero di lati è 6
si poteva anche ipotizzare:
Con 5 si riesce ancora, con 6 direi di no perché 4*180-3ottusi>720-540=180, quindi almeno uno dei restanti angoli viene ottuso. Perciò il massimo è 5.
ma,
Un angolo ottuso non è piatto, ma solo maggiore di 90°. Quindi il calcolo non è esatto
definizione di poligono convesso. Mi viene da pensare che non sia concavo, cioè che non abbia angoli interni maggiori di 180°, è corretto?
è convesso se il prolungamento di ognuno dei lati non taglia il poligono, concavo se almeno il prolungamento di un lato lo taglia
ipotizzare: è convesso se il prolungamento di ognuno dei lati non taglia il poligono, concavo se almeno il prolungamento di un lato lo taglia
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