In due dimensioni (un quadrato) alla terza linea perdo un pezzo
Cioè posso tagliare un quadrato con tre linee in 7 pezzi e non in 8
Quindi in tre dimensioni direi per cominciare
1 piano:2 parti
2 piani : 4 parti
3 piani : 8 parti
4piani: 15 parti perdo un pezzo
Poi come sai la mia Matematica è limitata
Ci penso
Però meno di 2^n
in 2 dimensioni il numero massimo con cui possiamo dividere un piano con n tagli (che consistono in rette) è a_n=n(n+1)/2+1. Nello spazio supponiamo di avere già fatto, in modo da massimizzare i pezzi del cubo, n-1 tagli (che consistono in piani). Allora l'ennesimo taglio (cioè l'ennesimo piano), se posizionato in modo da massimizzare il numero di pezzi, dovrà essere diviso dagli n-1 piani già presenti in a_(n-1)=(n-1)n/2+1 regioni (il numero massimo di regioni in cui può essere diviso da n-1 rette). Ciascuna di tali regioni sarà un pezzo in più in cui si divide il cubo, che quindi all'n-esimo taglio avrà b_n=b_(n-1)+a_(n-1) pezzi. Dunque, detto b_n il numero di pezzi in cui si divide il cubo all'n-esimo taglio, avremo la formula ricorsiva b_1=2, b_n=b_(n-1)+n(n-1)/2+1