Qual è la formula generale per calcolare il lato di un poligono regolare di n lati, dato il raggio?
L'angolo al centro relativo a ciascun lato è 2Pi/n e l'angolo alla circonferenza è quindi Pi/n. Per il teorema della corda, o teorema di Al-Kashi, il lato vale quindi 2r*sin(Pi/n) [Pi=pigreco]
Forse può essere utile questo elaborato realizzato tempo fa per porre un quesito a questo gruppo. Trovare le formule generali per il calcolo del raggio r e R e del loro rapporto dei cerchi inscritto e circoscritto ad un poligono regolare di n lati di lunghezza L. Determinare inoltre la formula generale per il calcolo dell’area A del poligono.
Angolo interno del poligono: ai=(n-2)*180°/n;
Raggio cerchio inscritto: r=(L/2)tg(ai/2)=(L/2)tg{[(n-2)*180°/n]/2}=
=(L/2)tg(90°-180°/n);
Raggio cerchio circoscritto: R=(L/2)/cos{[180°-(n-2)*180°/n]}/2=
=(L/2)/cos(90°-180°/n);
Rapporto: r/R=sin(90-180/n);
Area poligono: A=(nL/2)r=(nL/2)(L/2)tg(90°-180°/n)=(nL2 /4)tg(90°-180°/n);
Alcuni casi:
n=3 ai=60°; r=(L/2)tg30°=L/(2*31/2)=0,2886L; R=(L/2)/cos30°=L/31/2=0,577L
r/R=sin30°=1/2; A=(3L2 /4)tg30°=L2 31/2/4 =0,433 L2 .
n=4 ai=90°; r=(L/2)tg45°=0,5L; R=(L/2)/cos45°=L/21/2=0,707L;
r/R=sin45°= 1/21/2=0,707; A=(4L2 /4)tg45°=L2 .
n=18 ai=80; r=(L/2)tg80°=2,8356L; R=(L/2)/cos80°=2,879L
r/R=sin80°=0,9848; A=(18L2 /4)tg80°=25,5207 L2
Altro pensiero:
Immagino intenda il raggio della circonferenza circoscritta
siccome non rispondi, mi rispondo da solo:
Detto r=raggio circonferenza circoscritta, si ha:
lato=2r*sin(pi/n)
Detto a=raggio circonferenza inscritta (si chiama apotema), si ha:
lato=2a*tan(pi/n)
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