Qual'è la probabilità che due punti casuali presi su un segmento lungo 1 distino tra loro più di un valore x ?
poiché il segmento (chiamiamolo "AB") è pari a 1, ovvero alla probabilità massima, si tratterà di calcolare banalmente la differenza tra AB e la distanza tra i due punti "d".
P(X>d) = 1 - P(X<d) = 1 - d.
Ponendo ad esempio d = 0,5 la probabilità che X > d è pari a 1 - 0,5 = 0,5.
Potrebbe essere una buona idea,
se uno dei due punti fosse fisso a un estremo
immagina di farlo con un dado: tiri 2 volte il dado e fai la differenza tra i due numeri che ti escono. Qual è la probabilità che il valore che ottieni è maggiore o uguale di un certo valore prefissato (da 0 a 5)?
E' sufficiente calcolare la probabilità che i due punti si trovino uno da una parte e l'altro dall'altra di un segmento lungo x che li separa.
Il primo punto dovrà essere compreso tra 0 e 1 - x (probabilità 1 - x), il secondo punto dovrà essere tra x e 1 (probabilità 1 - x).
P = (1 - x) * (1 - x)
Potremmo anche pensare a questo: (1-x)^2 per 0<x<1
Alla seconda, perchè: la distribuzione è triangolare, per cui l'area è quadratica
Concetto di Montecarlo:
P=(1-x)^2. Supponiamo di generare a caso due numeri a e b compresi fra 0 e 1. Supponiamo per semplicità b>a. b deve rispettare la condizione 1>b>a+x. quindi la probabilità che b soddisfi la condizione è 1-(a+x). Integrando a fra 0 e 1-x si ottiene: (1-x)^2/2. Questo mi fornisce la probabilità richiesta nell'ipotesi che b>a. Togliendo questa condizione si ha per ovvi motivi di simmetria: P=(1-x)^2. Confermato da facile simulazione Montecarlo.
P=(x-1)² per dimostrarlo è sufficiente integrare la probabilità p(y) su tre intervalli:
p(y)=1-y-x per 0≤y≤x
p(y)=1-2x per x≤y ≤1-x
p(y)=y-x per 1-x≤y ≤1
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