qual'è l'insieme delle soluzioni della disequazione 3e^x - 5e^(-x) - 2 > 0
Test di Fisica e Matematica posto alla prova unica di ammissione ai corsi di Laurea Magistrale in Medicina e Chirurgia e in Odontoiatria
Moltiplico tutto per e^x. Visto che si tratta di un esponenziale con base positiva, il verso della disequazione non cambia.
3e^(2x) - 5 - 2e^x > 0
Sostituisco t = e^x
3t^2 - 2t - 5 >0
Risolvo l'equazione associata, scartando la soluzione negativa visto che t è un esponenziale, quindi sicuramente positivo:
t = [2 + sqrt(4 + 4*3*5)]/6
t = [2+8]/6
t = 5/3
Nel caso l'equazione sia di una parabola con concavità verso l'alto (come in questo caso), la soluzione della disequazione è per tutti i valori maggiori della soluzione maggiore e minori della soluzione minore. Visto che come detto la soluzione negativa (la minore) è stata scartata, abbiamo che la soluzione è
t > 5/3
risostituendo
e^x > 5/3
Da cui
x > ln(5/3)
inoltre:
3e^x-5^e^x-2>0
e^-x=1/e^x perciò
3e^x-5/e^x -2>0
m.c.m con e^x fattore comune. Ometto la presenza della funzione esponenziale al denominatore poiché è positiva ∀x∈ℝ il che non inverte in alcun modo il segno della diseguaglianza, perciò la veridicità di quest'ultima rispetto al rapporto dipende solo dallo studio del segno del numeratore. Pongo e^x=r
3r²-2r-5>0
Risolvo l'equazione associata
3r²-2r-5=0
∆=1+15=16
[r]₁,₂=1±4/3
[r]₁=-1
[r]₂=5/3
Da cui decidiamo che la parabola associata alla funzione è nel semipiano positivo per r<-1 V r>5/3. Ma r=e^x perciò e^x<-1 ∄x∈ℝ V e^x>5/3 ⇔x>ln(5/3) essendo la base >1 non si inverte il segno della diseguaglianza
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