Nessun numero. Mi sembra che, qualunque sia n, a(n) non è divisibile per 7² e, pertanto, neppure per 7³
ci sono infiniti numeri di quel tipo divisibili per 7²
dettagliatamente potremmo:
1) Si verifica "facilmente" che il polinomio:
1331·n³ + 363·n² + 376·n + 50
è divisibile per 49 quando n = 7k+5.
2) Quindi sostituisco e ottengo:
1331·(7k+5)³+363·(7k+5)²+376·(7k+5)+50.
3) Semplifico:
49·(9317k³+20328k²+14833k+3620).
4) Il polinomio ottenuto è divisibile per 343 quando il secondo fattore è divisibile per 7.
5) Ma si verifica "facilmente" che:
(9317k³+20328k²+14833k+3620) MOD 7 = 1.
6) Quindi il polinomio di partenza non è mai divisibile per 343.
se applicassimo, invece:
la congruenza mod 343 al polinomio A(n) - 49 =
1331n³ + 363n² + 376n+1.
Otteniamo che A(n) - 49 =
-41n³ + 20n² + 33n + 1 = 0 mod 343 per n = 5 + 343k. Consegue che A(n) non può essere divisibile per 343
In generale si dimostra per induzione che se un polinomio a coefficienti interi di grado k, con a(k) coefficiente del termine di grado massimo, è divisibile per un intero m, allora m divide anche k!*a(k). Ciò vuol dire, nel caso specifico, con m=343=7^3 e k=3, dove a(k)=1331=11^3, che poiché 7^3 NON divide 3!*11^3=2*3*11^3, 343 NON può dividere il polinomio dato 1331n^3+363n^2+376n+50 (per il principio di contrapposizione).
altra buona osservazione, potrebbe:
Cosa vi fanno pensare i primi due termini del polinomio dato? Possiamo riscriverlo in un altro modo?
I primi due termini del cubo del binomio 11n + 1. Quindi
(11n + 1)³ + 7² = 0 mod 7³
Consegue 11n + 1 = 0 mod 7 ma 7² non è divisibile per 7³.