Quali termini della successione
A(n) = 4n² + 4n + 2
sono divisibili per 17?
Sono tutti i numeri naturali della successione: a0=4 e an=(an-1)+17
n deve essere congruo a 6 oppure a 10 (mod 17). Infatti, A(n) si può scrivere come (2n+1)^2 + 1: perché questo sia 0 (mod 17), occorre che (2n+1)^2 sia congruo a 16 (mod 17). Nel campo Z_17 i numeri che hanno quadrato 16 sono 4 e 13. Posto 2n+1 = 4 (mod 17) si ha n Perciò vanno bene:
* i numeri del tipo 17n + 6 (con n>= 0); infatti (2*6+1)^2 + 1 = 170, (2*23+1)^2 + 1 = 2210 = 17*13, ecc.;
* i numeri del tipo 17n + 10 (con n >= 0), o se preferiamo 17n - 6 (con n = 1); infatti (2*10+1)^2 + 1 = 442 = 17*26, (2*27+1)^2 + 1 = 3026 = 17*178