Quando una funzione si dice continua?
In un ambito scolastico lo spiegherei cosí:
1. La continuità è una proprietà puntuale che si appoggia al concetto di limite.
2. La funzione con y=f(x) è continua in un certo punto (x0,y0) se si verifica che f(x) al limite x->x0+ e al limite x->x0- danno risultato y0, e anche f(x0)=y0
3. Una funzione si dice continua in un certo insieme se la condizione 2 si verifica per ogni punto dell'insieme.
(n.b. ci sono definizioni piú soddisfacenti di questa, in particolare con questa definizione nessuna funzione è continua in un intervallo chiuso di R, in quanto non esistono i limiti da dx/sx in corrispondenza dei punti di chiusura a sx/dx. Però secondo me per un liceale.questa definizione intanto aiuta a elaborare un'idea di continuità, una certa immagine mentale piú rigorosa del "si disegna senza staccare mai la penna dal foglio")
La "continuità" è una proprietà puntuale, a livello analitico, che si può estendere ad una proprietà locale, quindi dovresti chiedere:
A) "quando una funzione si dice continua IN UN PUNTO DEL SUO DOMINIO?"
oppure più in generale
B) "quando una funzione si dice continua in un SOTTOINSIEME DEL SUO DOMINIO?"
oppure ancora più in generale
C) "quando una funzione si dice continua SUL SUO DOMINIO?"
oppure in un senso leggermente diverso
D) "quando una funzione si dice continua IN UN GENERICO PUNTO DI R?"
oppure sempre in questo senso ma più in generale
E) "quando una funzione si dice continua IN UN GENERICO SOTTOINSIEME DI R?"
Le risposte a queste domande sono chiaramente tutte legate tra loro, ma tutte sottilmente diverse, come si può mostrare con esempi semplici.
considera ad esempio le funzioni:
f:R*->R, f(x)=1/x (con R* intendo i Reali privati di 0)
g:R-> R, g(x)=sinx/x se x diverso da 0, g(0)=0
h:R+ -> R, h(x)=x^(1/2)
f è: continua in 1, discontinua in 0 perché non definita in quel punto, continua su (0,1) e su ogni altro sottoinsieme del suo dominio, continua su tutto il suo dominio, continua in ogni x in R eccetto x=0, discontinua su (-1,1).
g è: continua in 1, discontinua in 0 perchè assume valore diverso dal limite, continua su (1,2), discontinua su (-2,2), discontinua sul suo dominio
h è: continua in 0, in 1 ed in ogni altro punto del suo dominio quindi continua sul dominio ed in ogni suo sottoinsieme, ma è banalmente discontinua in -1, o su (-2,-1) perché in quei punti non è definita
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