Quanti sono i primi p tali che p² + 11 abbia esattamente sei divisori positivi
Poiché
p^2 == 1 mod 4
Allora p^2 +11 == 0 mod 4
Tuttavia p^2+11 non è congruo 0 mod 8 poiché
p^2+11 == 0 mod 8 => p^2==5 mod 8 ma 5 non è un quadrato perfetto modulo 8
Dunque 1, p^2+11, 2, 4 sono 4 dei 6 divisori il quinto e il sesto divisore devono necessariamente essere q e 2q con q primo dispari.
Dunque p^2+11=4q tuttavia se p non è 3 necessariamente 3| p^2+11 quindi divide q ovvero q=3 da cui p=1, dunque l unica soluzione è p=3
affermare, dal problema posto, che p^2-1 sia multiplo di 4? ovvero che p^2:4 e 1:4 abbiano lo stesso resto 1?
p è dispari, quindi p=2n+1. se fai il quadrato del binomio e poi dividi per 4
Una soluzione alternativa.
p è primo. L'unico primo pari è 2, che non soddisfa alla condizione.
Quindi p è dispari, quindi p² + 11 è pari.
Inoltre, siccome i quadrati dei numeri dispari sono
sempre congrui a 1 modulo 4,p² + 11 è congruo a 0 modulo 4.
Se p=3, troviamo il numero 20 che ha 6 divisori, quindi 3 va bene.
Se p≠3,p² è congruo a 1 modulo 3 (p è dispari), quindi p² + 11 è divisibile per 3.
Ma se p² + 11 è multiplo di 4 e di 3, allora
p² + 11 è multiplo di 12, che ha 6 divisori.Di conseguenza p² + 11=12
cioè p=1. Ma 1 non è primo. Quindi resta solo 3.
About Post Author
