Quanto vale il rapporto delle aree? con dimostrazione

Usando il teorema del coseno:

a² = b² + c² - 2bc·cos(𝛼);

b² = a² + c² - 2ac·cos(𝛽);

c² = a² + b² - 2ab·cos(𝛾).

Sommando queste tre equazioni:

a² + b² + c² = 2a² + 2b² + 2c² - 2bc·cos(𝛼) - 2ac·cos(𝛽) - 2ab·cos(𝛾),

da cui:

2bc·cos(𝛼) + 2ac·cos(𝛽) + 2ab·cos(𝛾) = a² + b² + c².

Valgono le seguenti relazioni:

𝛿 = 𝜋 - 𝛼;

𝜀 = 𝜋 - 𝛽;

𝜁 = 𝜋 - 𝛾.

Usando ancora il teorema del coseno e l'identità cos(𝜋 - x) = -cos(x):

d² = b² + c² - 2bc·cos(𝛿) = b² + c² + 2bc·cos(𝛼)

e² = a² + c² - 2ac·cos(𝜀) = a² + c² + 2ac·cos(𝛽)

f² = a² + b² - 2ab·cos(𝜁) = a² + b² + 2ab·cos(𝛾)

d² + e² + f² = 2(a² + b² + c²) + 2bc·cos(𝛼) + 2ac·cos(𝛽) + 2ab·cos(𝛾) = 3(a² + b² + c²).

Quindi per finire:

(d² + e² + f²) / (a² + b² + c²) = 3.