Potremmo ragionare in questo modo:
Abbiamo che
9638=ax+r
8739=bx+r
2591=cx+r
Quindi
9638-8739=899=(a-b)x
9638-2591=7047=(a-c)x
8729-2591=6138=(b-c)x
Quindi x deve essere un divisore di 899,7047 e 6138, perciò è un divisore del
MCD(899;7047;6138)=. (7047-6138=909)
MCD(899;909;6138)=
MCD(899;10;6138)=1
Quindi x=1 è l'unica soluzione in N
Anche, ragionando in questo modo:
Per trovare il valore di x, dobbiamo trovare il massimo comune divisore (MCD) dei tre numeratori: 9638, 8739 e 2591.
Iniziamo scomponendo i numeri in fattori primi:
9638 = 2 * 4819
8739 = 3^3 * 17 * 19
2591 = 17 * 11^2
Ora, troviamo il MCD dei tre numeri:
MCD(2 * 4819, 3^3 * 17 * 19, 17 * 11^2)
Per trovare il MCD tra tre o più numeri, prendiamo il prodotto dei fattori primi comuni con il più basso esponente in ciascun numero:
MCD(2 * 4819, 3^3 * 17, 17 * 11^2)
Nella fattorizzazione dei numeri, vediamo che 17 è il fattore primario comune con l'esponente più basso (1 in entrambi i casi). Pertanto, possiamo semplificare il MCD come segue:
MCD(2 * 4819, 3^3, 11^2)
Ora, calcoliamo il MCD dei tre numeri rimasti:
MCD(2 * 4819, 27, 121)
Vediamo che 2 è il fattore primario comune con l'esponente più basso (1 in entrambi i casi). Pertanto, semplifichiamo ulteriormente il MCD:
MCD(4819, 27, 121)
Infine, calcoliamo il MCD dei tre numeri rimasti:
MCD(4819, 27, 121) = 1
Il MCD tra i numeratori delle tre divisioni è quindi 1. Ciò significa che x può essere qualsiasi numero diverso da 1, perché non influisce sul resto delle divisioni. Pertanto, non possiamo determinare un valore specifico per x
Pensandoci,
Il numero è 29, il resto è 10. Scrivendo un sistema 9638=xy+r 8739=xz+r e 2591=xw+r, sostituisco r e ottengo 2 relazioni x(y-z)=899 e x(z-w)=6148, entrambi i numeri devono quindi essere divisibili per uno stesso numero x che è 29
Il teorema cinese del resto non è applicabile in modo diretto, si fa più rapidamente con un programmino:
x, r
29 10
Oppure algebricamente
9639=ax+r (1)
8739=bx+r (2)
2591=cx+r (3)
ricavando r dalla 2 e sost in 1 poi ricavando r dalla 3 e sost in 2
899=(a-b)x
6148=(b-c)x
31·29=(a-b)x
212·29=(b-c)x
x=GCD(899,6148)=29
