Potrei pensare che:
nel primo sin^3(x) è asintotico a x^3 +o(x^4) e quindi poi applicherei de l'Hopital a log(x^3)/(1/x^3) (il denominatore non è problematico in 0).
Nel secondo l'espressione va come log(x^3)/(x^1/3) e anche qui si può applicare de l'Hopital e si vede che tende a zero (portandosi dietro anche il sin che oscilla limitato tra [-1,1]).
Potrei anche pensare:
I
rimpiazza sin(•) con (•), che ->0. Usa proprietà dei log per abbassare l'esponente. Il Den è finito e no nullo. Confronta infmo*inf al Num, se vuoi usando L'Hôpital.
II
Ignora il sin; se il resto-0, il Lim sarà 0; sennò, non esiste.
Ogni potenza a base>1 ed esp>0 tenderà a inf più veloce del log; quindi la radice al Den domina. Il Lim fa quindi 0.
non è corretto dire che per x → +∞ la funzione si comporta come log(x³)/³√(x+3). Il fattore sin(x) si azzera infinite volte in un intorno di infinito.
Dato che |sin(x)| ≤ 1, si può invece dire che 0 ≤ |sin³(x)·log(x³)/³√(x+3)| ≤ log(x³)/³√x (ho preso x > 1 così il logaritmo è positivo), e che quest'ultimo tende a 0 (per esempio grazie al teorema di de l'Hôpital), e che quindi il limite originale fa 0 per il teorema del confronto.