Sia z²=w
w²=-3+4i
|w²|=√(3²+4²)=5
Da cui
w=±{√[(5-3)/2]+i√[(5+3)/2]}
=±(1+2i)
Quindi
z²=±(1+2i)
|z²|=√(1²+2²)=√5
Per z²=1+2i si ha
z₁,₂=±{√[(√5+1)/2]+i√[(√5-1)/2]}
Per z²=-1-2i si ha
z₃,₄=±{√[(√5-1)/2]-i√[(√5+1)/2]}
Per definizione, il numero complesso z è dato da z=x+iy con x, y reali; quindi trovare le soluzioni dell'equazione proposta significa trovare i valori reali di x e y con espressioni algebriche.
Sia z²=u = x+iy -->u²=-3+4i =(x+iy)²=x²-y²+2ixy, con x, y numeri reali. Consegue il sistema omogeneo x²-y²=-3; xy=2.
Dividendo membro a membro, consegue x/y - y/x=-3/2 e, posto x/y = t, si ottengono i due sistemi [x=-2y, xy=2], [2x=y, xy=2]. Il primo sistema non ha soluzioni reali, il secondo possiede le soluzioni (x=1,y=2), (x=-1,y=-2). Pertanto u²=1+2i, e u²=-1-2i. Procedendo in modo analogo si trovano
le quattro radici
z1,2 =±{√[(√5+1)/2]+i√[(√5-1)/2]},
z3,4=±{√[(√5-1)/2]-i√[(√5+1)/2]}.
z⁴=-3+4i
w=a+ib=z²
z⁴=w²=a²-b²+i2ab
a²-b²=-3
ab=2, b=2/a
porta all'eq.ne biquadratica
a⁴+3a²-4=0, a≠0
posto
a²=x
x²+3x-4=0
da cui
x=a²=1
a=±1
b=±2
z²=w=c+id=±(1+2i)
c²-d²+i2cd=±(1+2i)
con stesso ragionamento di prima escludendo le soluzioni non accettabili:
c²-d²=±1
cd=±1, d=±1/c
c⁴±c²±1=0
c²=u
u²±u±1=0
u=c²=(±1±√5)/2
c=±(√(√5+1))/2
d=±(√(√5-1))/2
z=±(√(√5+1))/2±i(√(√5-1))/2
4 radici z₁ z₂ z₃ z₄