Risolvere in numeri interi l'equazione
x² + y² = pz³
essendo p un numero primo
X²+Y²=pZ³
Divido ambo i membri per Z²
X=xZ
Y=yZ
Z=Z
ottengo
x²+y²=pz
1)
p=2
in tal caso
x y stessa parità
1a.
p=2
x y uguali e dispari
X=Y=(2k+1)³
Z=(2k+1)²
1b.
p=2
x y pari allora Z pari
occorre
x=2x₁ y=2y₁ Z=2z₁
si ottiene
x₁²+y₁²=z₁
con x₁, y₁ parametri si ha
X=2x₁(x₁²+y₁²)
Y=4y₁(x₁²+y₁²)
Z=2(x₁²+y₁²)
2)
2a.
p≠2 primo
e p non puo′ scriversi nella forma
p=4k+1
allora si hanno soluzioni non primitive
x=px₁ y=py₁ Z=pz₁
porta a
x₁²+y₁²=z₁
e quindi alla parametrizzazione
X=p²x₁(x₁²+y₁²)
Y=p²y₁(x₁²+y₁²)
Z=p(x₁²+y₁²)
2b.
p=4k+1 primo
ovvia soluzione pitagorica banale
con
Z=4k+1
x²+y²=(4k+1)² porta a
X=0 Y=±(4k+1)
e quella con X Y invertiti
oppure per
Z=h²
con
x=hx₁ y=hy₁
si ha
x₁²+y₁²=4k+1
le cui soluzioni esistono ma dipendono da k
x₁ y₁ devono avere parità opposte
es
x₁=2m,
y₁=2n+1
che porta alla
m²+n²+n=k