Risolvere la seguente equazione diofantea: 3x²(x² - 4) = y²
3x²(x²-4)=y² 1)
x, y devono avere la stessa parità
non possono essere entrambi dispari perche′ se impongo
x=2h+1, y=2k+1 arrivo a una contraddizione:
24h⁴+48h³+12h²-12h-2k²-2k=5
il Iº m è pari il 2º è dispari.
devono essere entrambi pari.
x è multiplo di 2
y è multiplo di 3 e di 4
posti
x=2X, y=12Y
si ha
3·4X²(4X²-4)=12²Y²
4X²(X²-1)=12Y²
X²(X²-1)=3Y²
posto
Y=UX
X²(X²-1)=3U²X²
che per X≠0
diviene
X²-1=3U²
X²-3U²=1
eq.ne Pell positiva che per D intero positivo non quadrato possiede infinite soluzioni.
una soluzione fondamentale è
X₁=2, U₁=1
le soluzioni ricorsive si ottengono dalle:
Xₙ₊₁=X₁Xₙ+DU₁Uₙ
Uₙ₊₁=U₁Xₙ+X₁Uₙ
ovvero
Xₙ₊₁=2Xₙ+3Uₙ
Uₙ₊₁=Xₙ+2Uₙ
con
x=2X
y=12UX
dalle quali ricavo x,y.
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