risolvere la seguente equazione nel campo complesso determinando le soluzioni
x^2+2iz-3+2i√3=0
(in forma canonica)
z(1,2)=(-2i±√((2i)^2-4(-3+2i√3)))/2
z(1,2)=(-2i±√(-4+12-8i√3))/2
z(1,2)=(-2i±√(8-8i√3))/2
si calcola, a parte, Mod e Arg del delta ( 8-8i√3 )
•
Modulo=√(8^2+(8√3)^2)
Modulo=√(64+192)
Modulo=√(256)
Modulo=16
•
Argomento=arctan(-8√3/8)
Argomento=arctan(-√3)
Argomento=-π/3
quindi si ha,
in forma Esponenziale:
√(16*e^(-iπ/3))=
√16√(e^(-iπ/3))=
4e^(-iπ/6)=
in forma polare:
4(cos(-π/6)+isen(-π/6))
4(√3/2-i/2)=
4√3/2-4i/2=
2√3-2i
Si fa sostituzione e si trovano le due radici:
z(1,2)=(-2i±(2√3-2i))/2
z(1)=(-2i+2√3-2i)/2
z(1)=-4i/2+2√3/2
z(1)=-2i+√3
z(1)=√3-2i
z(2)=(-2i-(2√3-2i))/2
z(2)=(-2i-2√3+2i)/2
z(2)=-2√3/2
z(2)=-√3
potremmo, pensare di risolvere:
z^2+2iz-3+2i√3 = 0 =>
z ={-i(- o +)√[(i)^2+3-i2]}/2.
∆ = 0 => i^2 - i 2 + 3 = 0 =>
i = [- 1( - o + )√(1^2 - 3)]/2=>
i = [ -1 - i√3] /2 =>
per i' => 2i = - 1 - i√3 =>
2i+i√3 = - 1 =>
i(2+√3) = -1 =>
i = -1/(2+√3) => razionalizzo il denominatore =>
i = [-1(1-√3)]/(4-3) =>
i' = √3 - 1.
per i" => 2i= -1 + i√3 =>
i(2 - √3) = - 1 =>
i = -1/(2 - √3)=> razionalizzo il denominatore =>
i = -1(2 + √3)/(4-3) =>
i" = -1(2 + √3).
L'equazione :
z^2 + 2iz - 3 + 2i√3 = 0 la riscrivo in funzione dei valori i',i"come segue in f(i'):
a)
z^2+2(√3-1)-3+2(√3-1)√3=0
In f(i"):
b)
z^2-2(2+√3)-3-2(2+√3)√3=0.
z(a) :
z = {-(√3-1)(+/-)√(√3-1)^2 +
- [-3+2(√3-1)√3]}/2=
=-√3+1(+/-)√(4+3-2•3+2√3)]/2 =
z'(a)
=[-√3+1-√(1+2√3)]/2 ;
z"(a) =
=[-√3+1+√(1+2√3)]/2.
ma è bene, capire che: bisogna determinare le radici complesse del discriminante
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