x²+2y²=51z²
Il modo piu semplice di ottenere soluzioni è osservare che 51 è della stessa forma del primo membro
51=(±7)²+2(±1)²=(±1)²+2(±5)²
allora 51z² deve essere della stessa forma del primo membro. Usando le identità di Brahmagupta:
(a²+mb²)(c²+md²)=(ac-mbd)²+m(ad+bc)²=(ac+mbd)²+m(ad-bc)
posto che
z²=(a²+2b²)²=(a²-2b²)²+2(2ab)²
si ha
1)
x=7(a²-2b²)-2(2ab)
y=(a²-2b²)+7(2ab)
z=a²+2b²
1b)
x=7(a²-2b²)+2(2ab)
y=(a²-2b²)-7(2ab)
z=a²+2b²
2)
x=(a²-2b²)-10(2ab)
y=5(a²-2b²)+(2ab)
z=a²+2b²
2b)
x=(a²-2b²)+10(2ab)
y=5(a²-2b²)-(2ab)
z=a²+2b²
i segni dei coefficienti 7, 1 e 1, 5 possono avere i segni ± dietro il segno principale delle somme algebriche in cui compaiono.
a, b ∈ℤ
Vi sono altre soluzioni per esempio quelle multiple di uno stesso fattore quadrato k², e molto probabilmente altre ancora.
Ma se consideri che si tratta di una conica in coordinate omogenee, puoi intersecarla con la generica retta razionale passante, per esempio, per il punto (1,5). Ognuna di tali rette interseca la conica in un solo altro punto razionale oltre a (1,5), e, viceversa, per ogni punto a coordinate razionali, della conica, si può condurre una sola retta passante per (1,5)