Risolvere l'equazione diofantea x² - xy + mx + pq = 0 essendo m, p, q numeri primi dispari
x²+(m-y)x+pq=0
risolvendo rispetto a x devo imporre
Δ(x)=(m-y)²-4pq=k²
da cui
(m-y)²=k²+4pq
y²-2my+(m²-4pq-k²)=0
risolvendo risp a y devo imporre
Δ(y)/4=k²+4pq=h²
k²-h²=4pq
che ha come soluzioni accettabili
k=pq+1, h=pq-1
k=p+q, h=q-p
y=m±h
x=((y-m)±k)/2
andando a ritroso trovo con le varie combinazioni di segno le 8 soluzioni:
x=-1, y=m-(pq+1)
x=1, y=m+pq+1
x=-pq, y=m-(pq+1)
x=pq, y=m+pq+1
x=p, y=m-q+p
x=q, y=m+q-p
x=-p, y=m+q-p
x=-q, y=m-q+p
x²-yx+mx+pq=0
la riscrive come
yx=x²+mx+pq
divide per x≠0
y=x+m+pq/x
i casi sono
x=±1, y =±1+m±pq
x=±p, y =±p+m±q
x=±q, y=±q+m±p
x=±pq, y=±pq+m±1
8 in tutto procedimento semplicissimo ed elegante.
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