Risolvere l'equazione diofantea X² + Y² = (X - Y)³
x²+y²=(x-y)³
deve essere
x-y=k≥0
x=y+k
da cui
(y+k)²+y²=k³
2y²+2ky+k²(1-k)=0
per k=0
ho la soluzione
x=0, y=0
per k≥1 k∈ℕ
deve essere
Δ/4=R² ≥0 quadrato perfetto
k²-2k²(1-k)=
=k²-2k²+2k³=2k³-k²=
=k²(2k-1)=R²
ossia
2k-1=S²=(2n-1)²
2k=(2n-1)²+1
2k=4n²-4n+2
k=2n²-2n+1
da cui
y=(-k±k(2n-1))/2
sostituendo
y= -n(2n²-2n+1)
x=(1-n)(2n²-2n+1)
e
y=(n-1)(2n²-2n+1)
x=n(2n²-2n+1)
Se:
x = n·(2·n²-2·n+1)
y = (n-1)·(2·n²-2·n+1)
allora:
x² + y² = (x - y)³.
E così pure se:
x = -(n-1)·(2·n²-2·n+1)
y = -n·(2·n²-2·n+1)
sarebbe vero se avesse precisato che n è un numero intero relativo (ma non l'ha fatto e quindi è una lacuna). Se n é un numero naturale, occorrono entrambe le rappresentazioni, dal momento che x, y possono essere negativi
potrebbero essere sbagliati i segni
About Post Author
