Risolvere l'equazione diofantea X³ = Y² + 10
Potremmo inizialmente, svolgerla:
x³=y²+10
x³=(y+√(-10))(y-√(-10))
ho decomposto nel campo di numeri algebrici ℤ[√(-10)]
della forma m+n√(-10)
m,n∈ℤ
detti
y+√(-10)=A³
y-√(-10)=B³
con A, B ∈ℤ[√(-10)]
ovvero
A=a+b√(-10)
B=c+d√(-10)
avrò
y+√(-10)=(a+b√(-10))³
y+√(-10)=a³+3a²b√(-10)-30ab²-10b³√(-10)
uguagliando parti reali e parti immaginarie tra loro:
a(a²-30b²)=1
b(3a²-10b²)=1
Ma ricontrollando per bene:
L’equazione non ha soluzioni intere, infatti se Y è pari, Y=2k k in Z, allora X^3 = 2(2k^2 + 5) quindi X è pari, X=2q q in Z, da cui 4q^3-2k^2 = 5 assurdo. Allora Y è dispari, cioè Y=2k+1 con k in Z da cui X^3 = 2(2k^2 + 2k +5) + 1 quindi X è dispari, cioè X=2q+1 con q in Z, allora troviamo q(2q(2q+3)+3)=2(k^2+k) + 5, si deduce che q è dispari allora q=2x+1 con x in Z sostituendo si perviene a 32x^3 + 72x^2 + 54x -2(k^2+k) =-7 che è assurdo
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