Risolvere l'equazione diofantea XY - Z² = 1
Se consideriamo la
z²+t²=xy
sappiamo che soluzioni sono
a)
z=v²-u²+uw
t=v(2u-w)
x=u²+v²
y=(u-w)²+v²
per t=±1
l′eq.ne si riduce a quella data
xy-z²=1
z²+1=xy
dobbiamo imporre
t=±1
ossia
v(2u-w)=±1
che fornisce:
1.
v=1
2u-w=1
ossia
v=1
w=2u-1
o
v=-1
w=2u+1
o
v=1
w=2u+1
o
v=-1
w=2u-1
sostituendo nelle a)
x=u²+1
y=(u±1)²+1
z=1-u²±(2u±1)
u∈ℤ
che sono le soluzioni della eq.ne data assieme a quelle che si ottengono considerando
x e y scambiati
x y cambiati entrambi di segno
e ±z, in tutte le combinazioni compatibili.
Ma se, anziché le soluzioni che tu indichi per "z²+t²=x·y", noi considerassimo la più estesa identità di Brahmagupta, potremmo ricavare altre infinite espressioni per x, y che non necessariamente siano del tipo "m²+1".
Un esempio particolare è questo:
x = 8·(c+1)²+2
y = ½·[(2·c+1)² + 1]
z = ¼·[(4·c+3)² + 3],
che soddisfa con infiniti valori l'equazione data ma né x né y sono necessariamente del tipo "m²+1"
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