L′equazione
6x²-xy-12y²-x+10y=13 (1)
non ha soluzioni intere
è il caso della equazione completa delle coniche
ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0
b²-4ac=M=289=17²>0
è una iperbole
risolviamola rispetto ad x
6x²-(1+y)x-12y²+10y-13=0
deve aversi
Δₓ=R²
(1+y)²+6(12y²-10y+13)=R²
73y²-58y+79-R²=0 (a)
M=17²>0
Δₓ non quad perfetto
è una iperbole non degenere.
cerchiamo gli y per cui
Δₓ è un quadrato
dalla (a)
Δy/4=S²
29²-73(79-R²)=S²
che diviene
S²-73R²=-4926
tale equazione è tipo Pell negativa ma non ha soluzioni in quanto se S R entrambi pari il primo membro è multiplo di 4 ma non il secondo che è pari a -2·3·821
se S R entrambi dispari usando la congruenza mod 8
1-1·1=0≡2 mod 8
evidentemente falso ∀ S R per cui la equazione data (1) non ha soluzioni negli interi.