Risolvere nel campo reale il sistema x+y+z = 3; x³+y³+z³=15; x^5+y^5+z^5 = 83

(x + y + z)^ 3 -x^ 3 -y ^3 -z^ 3 = 3 (x + y) (y + z) (z + x)
(x + y + z)^ 5 -x ^5 -y^ 5 -z^ 5 = 5 (x + y) (y + z) (z + x) (x ^2 + y^ 2 + z^ 2 + xy + yz + zx) Quindi (x + y) (y + z) (z + x)=4 ; (x + y) (y + z) (z + x) (x ^2 + y^ 2 + z^ 2 + xy + yz + zx)=32 da cui (x + y) (y + z) (z + x)=4 ; (x ^2 + y^ 2 + z^ 2 + xy + yz + zx)=8 Ma (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz Quindi xy+yz+zx=1 e sostituendo si ha l'equazione risolvente (1+y^2)(3-y)=4 da cui si hanno 3 soluzioni y=1,1-radq(2),1+radq(2) . Risalendo si hanno le seguenti 5 soluzioni (1,1-radq(2),1+radq(2)) (1,1+radq(2),1-radq(2)) (1-radq(2),1,1+radq(2)) (1-radq(2),1+radq(2),1) (1+radq(2),1,1-radq(2))