Questo modo di scrivere la definizione di limite, per quanto matematicamente corretta, è ostica e complicata da capire per tantissimi studenti (me compreso). Per capire meglio il concetto e non risolvere l'esercizio meccanicamente (come ho sempre fatto al liceo anche io purtroppo) ti conviene guardare il significato grafico di limite, da cui proviene tutta quella definizione che sembra complicata

Per comprendere intuitivamente la definizione è utilissimo riferirsi a grafici, così si ricorda meglio. Però la definizione "vera" è quella formale. Certamente complicata, tutt'altro che immediata, però è quella. Gli esercizi di verifica ovviamente non sono utili per "calcolare" un limite, ma solo per accertarsi di aver capito bene la definizione.

Ma perché, mi chiedo, soffrire così tanto quando la funzione è assolutamente definita per x=3? il limite è il valore assunto dalla funzione per quel valore, non potrebbe essere altrimenti... non ho mai capito perché autoinfliggersi sofferenze con gli Epsilon e i Delta

Comunque, per verificare il limite, basta scrivere un sistema di disequazioni: la prima è 1/(x^2+16) < 1/25 + e (per semplicità scrivo e al posto di epsilon, ovviamente non è il numero di Nepero!), la seconda 1/(x^2+16) > 1/25 - e. Si suppone epsilon < 1/25, e si prendono i reciproci in entrambe le disequazioni. Risolvendo, si trova che il sistema è soddisfatto in due intervalli uno simmetrico dell'altro rispetto all'origine (per forza: la funzione è pari), ma quello che a noi interessa è (sqrt((9-400e)/(1+25e)) , sqrt((9+400e)/(1-25e))), dove però occorre restringere ulteriormente epsilon: si deve infatti supporre e < 9/400. Ora, l'esercizio si può dire risolto se si fa vedere che questo intervallo contiene sempre 3, per qualsiasi epsilon < 9/400, e questo è facile da verificare. Se uno vuol fare proprio il pignolo, deve considerare che l'intorno trovato non è circolare, perciò il valore di d (delta) è il minore tra d1 = 3 - sqrt((9-400e)/(1+25e)) e d2 = sqrt((9+400e)/(1-25e)) - 3. Come detto, ne possiamo fare a meno e scrivere soltanto che delta è il minimo tra i due. Se uno vuol perderci un po' di tempo, trova (se non ho sbagliato i conti) che per epsilon abbastanza piccolo (minore di sqrt(11) / 150), d1 è più piccolo di d2.