sapendo che le radici dell'equazione, sono tutte reali, determinare il valore del parametro reale m
Faccio uno studio di funzione
f(x)=x³-(3-√3)x²+2(2-√3)x+2m
f′(x)=
3x²+2(√3-3)x+4-2√3=0
che ha soluzione
x*=1-1/√3
f′′(x)=2(3x+√3-3)
f′′(x*)=0
ciò fa presumere che x* sia radice di f(x) multipla.
f′′′(x)=6>0
per cui x* è punto di flesso strettamente crescente a tangente orizzontale. Poichè f(x) si annulla per a b c
a≤x(max)≤b≤x(min)≤c
e x(max) e x(min) si riducono al flesso x* e f(x) è monotona crescente, l′unica possibilità è che x*=a=b=c sia soluzione tripla della cubica.
f(x*)=0
x*=1-1/√3
da m=5/(3√3)-1 < 0 di pochissimo
si studia la funzione e si vede per quali valori di m le rette drl fascio hanno 3 intersezioni con curva di equazione *).
La curva non ha massimi o minimi ha solo un flesso.
Questo significa che la curva ha con ogni retta fascio , tranne una, un solo punto di incontro.
Quella unica che ha più di una intersezione ne ha tre coincidenti con
x= 1- (3^1/2)/3 punto di flesso di ordinata
2- (10/9)3^1/2 = -2m
da cui m = -1 + 5/(3×3^1/2)
About Post Author
