scegliamo in punto P con distribuzione uniforme in un quadrato di lato unitario
unendo il punto P con i vertici otteniamo 4 triangoli. Qual è la probabilità che tutti gli angoli interni dei triangoli trovati non eccedano 120°?
(sqrt3 + 1)/3 - 2 pi/9
= 0.2125519
In ciascun triangolo,
l'unico angolo che puo' eccedere i 120 gradi e' quello che parte da P,
gli altri due non possono andare oltre ai 90 gradi.
Questo angolo e' minore di 120 gradi se il P e' abbastanza distante dai lati del quadrato.
Piu' precisamente,
se P sta al di fuori di quattro cerchio di raggio = 1/sqrt3
e centro 1/2/sqrt3 al di fuori del quadrato.
(Qui una figura aiuterebbe)
Non mi dilungo sul perche', solo, questi quattro cerchi sono il luogo di punti in cui l'angolo di P e' minore di 120 gradi.
Sarebbe piu' semplice 90 gradi, in questo caso i lati del quadrato sarebbero i quattro diametri,
con 120 gradi i cerchi sono un po' spinti fuori dal quadrato.
Allora, la probabilità da calcolare e' la probabilita' che P non cada nella zona proibita,
che e' l'area non incluse da un dei quattro cerchi diviso 1 (l'area del quadrato)
Ciascun cerchio ha in comune con il quadrato un'area di
pi/9 - 1/4/sqrt3
(cioe' l'area tra corda e circonferenza)
Quindi la probabilita' sarebbe
1 -4(pi/9 - 1/4/sqrt3)
Ma c'e' una complicazione:
i quatto cerchi sono a due a due parzialmente sovrapposti,
devo allora aggiungere l'area delle quattro parti sovrapposte
altrimenti vengono sottratte due volte.
Quindi risulta:
1 -4(pi/9 - 1/4/sqrt3) + 4 (pi/18 - 1/6)
=
1/3 + 1/sqrt3 - 2/9 pi
=
0.2125519
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