Se una funzione f: [a,b] → ℝ è continua, sappiamo per il teorema fondamentale del calcolo integrale che a) f è Riemann-integrabile
Se una funzione f: [a,b] → ℝ è continua, sappiamo per il teorema fondamentale del calcolo integrale che a) f è Riemann-integrabile e che b) la funzione F(x) = ∫₀ˣ f(t) dt è una primitiva di f. Questo fatto sigilla il legame tra integrabilità e primitive.
Se però f non è continua, può succedere di tutto.
A) f può comunque essere Riemann-integrabile;
B) f può non essere Riemann-intagrabile;
C) f può comunque ammettere primitiva;
D) f può non ammettere primitiva;
e ora i casi a mio avviso più curiosi:
E) f può essere Riemann-integrabile ma non ammettere primitiva;
F) f può ammettere primitiva ma non essere Riemann-integrabile.
Sapete trovare degli esempi per i casi A - F? L'ultimo è il più dificile - nel caso riporterò una referenza tra un paio di giorni.
Se al posto dell'integrale di Riemann si considerano altre definizioni di integrale, alcuni dei dettagli cambiano.
In relazione ad A, f può essere discontinua in [a,b] e allo stesso tempo Riemann integrabile in [a,b], a condizione che f sia limitata in [a,b] e l'insieme delle discontinuità di f in [a,b] abbia solo un numero finito di punti. Ad esempio, considerando nell'intervallo [0,1] f(x)=x per x<1/2, f(x)=1/x per x>=1/2, essa è discontinua in un solo punto (x=1/2), ma è Riemann-integrabile in [0,1]
In relazione ad F, direi di sì: puoi avere alcune funzioni 'patologiche' munite di antiderivata ma non integrabili secondo Riemann in un dato intervallo: https://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative... (vedi esempio 3 nella sezione dedicata: hai una funzione per cui puoi definire una primitiva ma che non è integrabile secondo Riemann, perchè l'insieme delle discontinuità non è finito, bensì una infinità numerabile).
È corretto il caso della funzione definita a tratti (andrebbe definita anche in x = 1/2): è Riemann-integrabile ma non ammette primitiva.
Non sono invece sicuro di aver capito come mai l'esempio 3 di Wikipedia non è Riemann-integrabile. La funzione è discontinua in un'infinità numerabile di punti, che è un insieme di misura nulla - questa è condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione SIA Riemann-integrabile
la funzione fornita è Riemann integrabile visto che si può sfruttare il criterio di Lebesgue
Per il caso F possiamo prendere la derivata f di F(x)=x^(3/2) sin(1/x) nel dominio [0,1] con F(0)=0. Si può dimostrare che f è definita ovunque in [0,1] ma, in quanto non limitata, non è Riemann integrabile.
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