Se volessimo sommare un numero infinito di numeri, che risultato avremmo? Il senso comune potrebbe indurci a pensare che avremmo sempre un risultato infinito. Quando si maneggia l'infinito, però, non c'è niente di sicuro. Infatti è stato dimostrato che si possono verificare tre situazioni:

A) Il risultato è infinito.

B) Il risultato è un numero finito.

C) Il risultato è indeterminato.

Facciamo un esempio del caso A. Vogliamo sommare tutte le frazioni generate da 1/x per x che va da 2 all'infinito.

S = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + ... infinito.

Dato che aggiungiamo termini sempre più piccoli, si potrebbe pensare che il risultato sarà un numero finito. Invece, questa somma si dimostra facilmente che vale infinito, perché basta raggruppare i termini in questo modo:

S = 1/2 + (1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7) + (da 1/8 a 1/13) + (da 1/14 a 1/22) + ... infinito.

Ogni elemento è sempre maggiore o uguale a 1/2, quindi la somma di infiniti valori più grandi di 1/2 sarà infinito.

Facciamo un esempio del caso B. Vogliamo sommare tutte le frazioni generate da 1/x per x che vale tutte le potenze di 2 fino all'infinito.

S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... infinito.

Questa somma si dimostra facilmente che non vale infinito, basta moltiplicare i termini per 2.

2S = 1 + (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... infinito).

Ora, è evidente che la serie fra parentesi coincide con S, per cui possiamo scrivere:

2S = 1 + S. E semplificando avremo: S=1

Il risultato di infinite somme, ognuna metà della precedente, è uguale esattamente a 1.

Facciamo un esempio del caso C. Vogliamo sommare tutti gli interi alternati 1 e -1 fino all'infinito.

S = +1-1+1-1+1-1+1-1+ ... procediamo così fino all'infinito.

Si potrebbe pensare di raggruppare i termini in questo modo:

S = 1-(1-1+1-1+1-1+ ... infinito). Ma ora fra parentesi abbiamo proprio S, per cui:

S = 1-S quindi 2S = 1 quindi S=1/2.

Oppure potremmo raggruppare i termini in quest’altro modo:

S = (1-1)+(1-1)+(1-1)+ ... infinito. Calcoliamo i termini fra parentesi e avremo:

S = (0)+(0)+(0)+ ... infinito. Questa somma dà come risultato chiaramente S=0.

Oppure potremmo raggruppare i termini in questo terzo modo:

S = 1+(-1+1)+(-1+1)+ ... infinito. Calcoliamo i termini fra parentesi e avremo:

S = 1+(0)+(0)+ ... infinito. Questa somma dà chiaramente come risultato 1.

Alla fine, abbiamo scoperto che questa somma può valere 1/2, oppure 0, oppure 1 in base a come raggruppiamo i termini.

La somma di infiniti numeri costruita in questo modo è indeterminata.