Secondo Pitagora la "perfezione" numerica dipende dai divisori di un numero
i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4 e 6. Quando la somma dei divisori di un numero è maggiore del numero stesso quel numero viene definito "eccedente" perciò 12 è un numero "eccedente" perché i suoi divisori addizionati danno come somma 16. D'altra parte quando la somma dei divisori di un numero è inferiore al numero stesso il numero è chiamato "difettivo". Così, ad esempio, 10 è un numero "difettivo" perché i suoi divisori 1, 2 e 5 addizionati danno come risultato 8.
I numeri più rari e importanti per i pitagorici sono quelli i cui divisori addizionati danno esattamente come somma il numero in questione, questi sono detti numeri "perfetti". Il 6 ha come divisori 1, 2, e 3 di conseguenza è un numero perfetto perché 1+2+3 = 6; il successivo numero perfetto è 28 perché 1+2+4+7 +14 = 28. Salendo nella serie dei numeri naturali è sempre più difficile trovare numeri perfetti. Il terzo numero perfetto e 496, il quarto 8128, il quinto 33.550.336 e il sesto è 8.589.869.000.056.
Pitagora notò che numeri perfetti, oltre a essere la somma di tutti i loro divisori, presentavano parecchie altre eleganti proprietà. Tra l'altro i numeri perfetti sono sempre la somma di una serie di numeri naturali consecutivi ad esempio
6= 1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+4+5+6+...........+30+31
Ci sono poi altre proprietà dei numeri perfetti come ad esempio quella che la loro "perfezione" era (secondo Pitagora) strettamente connessa al "due". Se consideriamo le potenze 2^n otteniamo dei numeri che non sono perfetti per uno scarto minimo poiché la somma dei loro divisori ammonta sempre ad una cifra inferiore di un'unità al numero stesso. Questo li rende particolari: "lievemente difettivi".
2^2 = 2x2 = 4 divisori 1,2 somma =3
2^3 = 2x2x2 =8 divisori 1,2,4 somma =7
2^4 = 2x2x2x2 = 16 divisori 1,2,4,8 = 15
Due secoli dopo Euclide avrebbe perfezionato il nesso istituito da Pitagora tra il due e la perfezione. Euclide scoprì che i numeri perfetti sono sempre il prodotto di due numeri, uno dei quali è una potenza di due e l’altro è la successiva potenza di 2 meno 1
6= 2^1x(2^2-1)
28= 2^2x(2^3-1)
496= 2^4x(2^5-1)
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