serie numerica: dalla Serie di Fourier della funzione x²
Partendo dalla Serie di Fourier della funzione x^2 calcolata sul periodo 2*π tra -π e π che è x^2=(π^2)/3+Σ(n=1 to n=∞) (-1)^n/[n^2]*cos(n*x*L) calcolando la funzione in x=0 si ha 0=(π^2)/3+Σ(n=1 to n=∞) (-1)^n/[n^2] che è proprio la serie alternata ricercata da cui segue -(π^2)/12=Σ(n=1 to n=∞) (-1)^n/[n^2]
si, potrebbe anche assumere che:
Se puoi assumere che Σ_{n∈N} 1/n² = π²/6 (risultato noto) è piuttosto semplice.
Consideri P = Σ_{n pari} 1/n² e D = Σ_{n dispari} 1/n².
Quindi sai che P+D=π²/6.
Al contempo, sai anche che
P = Σ_{n pari} 1/n² = Σ_{k∈N} 1/(2k)² = 1/4 * Σ_{k∈N} 1/k² = 1/4 * π²/6.
Quindi D = (P+D)-P = π²/6 - 1/4 * π²/6 = 3/4 * π²/6
E infine la quantità che vuoi cercare tu è
P-D = 1/4 * π²/6 - 3/4 * π²/6 = -π²/12
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