si consideri la matrice Hermitiana, trovare gli autovalori di A, trovare due autovettori ortogonali
La matrice A è
3 2+i
2-i 7
Per calcolare gli autovalori studio il polinomio caratteristico dato dal determinante della matrice
3-t 2+i
2-i 7-t
che è
(3-t)(7-t) - 5 =
= 21 - 10t + t² - 5 =
= t² - 10t + 16 =
= (t - 8)(t - 2)
E i due autovalori di A sono 2 e 8.
Per calcolare gli autovettori studio gli autospazi relativi agli autovalori 2 e 8:
Autovalore 2:
x + (2+i)y = 0
0 = 0
da cui l'autospazio è
{(-(2+i)y, y) : y ∈ ℂ}
ed è ovviamente generato dall'autovettore
(-2-i, 1)
Autovalore 8:
0 = 0
(2-i)x - y = 0
da cui l'autospazio è
{(x, (2-i)x) : x ∈ ℂ}
ed è generato dall'autovettore
(1, 2-i)
Quindi due autovettori di A sono
(-2-i, 1)
(1, 2-i)
Con ortonormalizzazione di Gram - Schmidt trovo una base ortonormale costituita da autovettori.
n₁ = (-2-i, 1)/[2√(1 + i)]
n₂ = [(1, 2-i) - ⟨(1, 2-i), n₁⟩ · n₁]/√[(1, 2-i) - ⟨(1, 2-i), n₁⟩ · n₁]
La matrice che ha come colonne i due autoversori è la matrice U cercata.
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