Sia A una matrice quadrata di dimensione arbitraria, tale che: A³ = A + 𝟙, dove 𝟙 è la matrice identità.ne arbitraria, tale che: A³ = A + 𝟙, dove 𝟙 è la matrice identità.
Dimostrare che A è invertibile e calcolare la sua inversa.
Si può ripetere l'esercizio più in generale se Aⁿ = A + 𝟙, dove n è un intero maggiore di 1.
Per il teorema di cayley Hamilton, essendo il termine noto diverso da zero e pari a 1, la matrice ha determinante pari a 1. Quindi è invertibile
Moltiplicando ambo i membri per A^(-1) si ha che
A²=I+A^(-1)
Quindi A^(-1)=A²-I
Volendo la matrice A che deve essere 3x3 in linea generale si può anche calcolare.
deve essere 3×3
sempre teorema di cayley Hamilton, il polinomio caratteristico è x³-x-1=0. Di conseguenza essendo il polinomio di grado 3, le matrici simili con tale polinomio caratteristico sono 3x3
è possibile per una matrice 4x4 soddisfare l'equazione di partenza?
si è possibile se i 4 autovalori sono distini e 3 di questi soddisfanno l'equazione.
Il teorema di cayley Hamilton risulta molto utile nel calcolo delle funzioni di matrici
"Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se f è un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita e p(x) è il suo polinomio caratteristico, allora p(f)=0"
Per quale motivo avete potuto utilizzare l'implicazione inversa?
Ossia, se f è un endomorfismo e p(f)=0 allora p(x) è il polinomio caratteristico?
Una matrice A che soddisfa l'equazione A³=A+1 o in generale è 3x3 , oppure sia di dimensione superiore a 3x3 è necessario che sia diagonalizzabile e che i suoi autovalori siano radici dell'equazione x³-x-1=0.
Essendo gli autovalori tutti non nulli, segue che det(A)≠0 e quindi invertibile.
La diagonazzabilità è necessaria. Perché se si prende la generica matrice in forma canonica di jordan, l'equazione è soddisfatta solo se è diagonale.
Al fine di poter utilizzare Cayley-Hamilton p(x) deve essere il polinomio caratteristico di A, affinché ciò accada è necessario che A abbia dimensione 3 e ciò non è dato per ipotesi.
Pertanto la sua dimostrazione è applicabile solo nel caso in cui dim(A) = 3, nel seguente modo:
1) p(A) = 0, quindi p(x) è un multiplo del polinomio minimo di A.
2) p(x) = x^3 - x - 1 ha tre radici distinte non nulle
3) dal punto (1) e (2)** segue che p(x) è il polinomio caratteristico di A
4) dal teorema di Cayley-Hamilton det(A) = 1, quindi A è invertibile.
non sono d'accordo sull'implicazione che ha scritto
p(A) = 0 => dim(A) >= 3
Poiché chiamata ξ l'unica radice reale di p(x), la matrice
ξ * 𝟙_n soddisfa l'equazione per ogni n>0 naturale.
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