1) X:={f in C^1([0,1]) t.c f(0)=0} è un sottospazio chiuso di C^1([0,1]).
Come deduco che è chiuso ??
2) ||f||_X := ||f'||_infinito è equivalente a ||f||_C1.
spiegazioni
una prima idea, potrebbe essere:
Per la 1) immagino che intenda un sottospazio vettoriale
Io la intendo così: prese f,g tali che f(0)=0, g(0)=0, allora la funzione f+g definita dalla somma è ancora nel sottospazio. Infatti: (f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0.
Analogamente per la moltiplicazione di scalare:
dato a in R, prendo la funzione af e la valuto in 0 e ottengo 0.
1) Considero la funzione T:C^1--R definita da T(f):=f(0). L'insieme X è proprio la controimmagine del singoletto {0} tramite T. Il singoletto {0} topologicamente è un chiuso di R e algebricamente un sottospazio vettoriale di R. Provando che T è sia lineare che continua si prova che X è un sottospazio lineare chiuso di C^1. La linearità di T è ovvia. Inoltre T è Lipshitz continua di costante 1, infatti per ogni f in C^1 accade |T(f)|=|f(0)|<= ||f||_infinito<=||f||_C1
2) è falso, visto che "||f||_X := ||f'||_infinito" non definisce una norma (se f è una funzione costante allora f ha derivata nulla, ma f mica è nulla)
la 2 è vera visto che si lavora in X e non in tutto C^1
2) bisogna provare che per le successioni in X la convergenza secondo la norma_X equivale alla convergenza rispetto norma_c1.
Per ogni f appartenente a X risulta ||f||_X<=||f||_c1, quindi la convergenza rispetto norma_c1 implica la convergenza rispetto norma_X. Inoltre il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata prendendo c=0 dice proprio che la convergenza rispetto norma_X implica la convergenza rispetto norma_C1