Sia data una scacchiera nxn e ad ogni casella sia associato un numero da 1 a n2 (n alla seconda)
(caselle diverse num diversi). Si dimostri che esistono almeno due caselle ADIACENTI (un lato in comune) tali che la differenza tra i rispettivi numeri è maggiore o uguale a n".
In altre parole non è possibile disporre i primi n2 numeri naturali su una scacchiera nxn, in modo che per ogni coppia di caselle adiacenti la differenza sia minore di n.
Se nella prima colonna disponiamo i numeri da 1 a n , per es da 1 a 8 , non è vero che 2 caselle adiacenti differiscono per più di 8 ( differiscono di 1) seconda colonna da 9 ( adiacente a 8 ) a 16...ultima colonna da 49 a 64 penultima colonna da 33 a 48 adiacente a 49 , pertanto 64 adiacente a 33. 64-33 = 31 = 8^2 - 32+1 = 8^2 *( 1- 0,5)+1. Generalizzando d= n^2 * 0,5 +1 > n ? Per n=2 d = 3 > 2 ...n=4 d= 9 > 4. n =8 d= 33> 8
E fra caselle di due righe adiacenti?
Procedendo a numerare per righe la differenza sarà sempre 1 lungo la riga e 8 lungo la colonna, quindi non sarà sempre <8
1-9 e 2-10 e 3-11…. La differenza è 8 quindi >=n che è 8
Provando la matrice minima 2x2 la differenza fra celle adiacenti <n non è garantita per tutte le combinazioni, infatti:
12
34
Comunque li si disponga la condizione di differenza fra celle adiacenti si verificherà solo in due casi, 1-2 e 3-4 <2 mentre 1-3 e 2-4 è =2.
La stessa cosa accade con altre matrici 3x3, 4x4…
Su due piedi mi verrebbe da dire che per numeri >n la differenza fra celle adiacenti porrebbe essere >=n
su una scacchiera nxn = 5x5 il cui ultimo numero sia quindi n^2, ovvero 25.
Sia che si parta a numerare da un vertice che dalla mezzeria di un lato o dal centro e procedendo a numerare in modo da garantire la minor distanza possibile dai numeri già assegnati, che si proceda per archi, semicerchi, cerchi concentrici, a seconda di quello che fosse il punto di partenza, giunge un momento in cui la lunghezza dell’arco o della circonferenza supera il valore n (in questo caso 5) dimostrando che non tutte le differenze di valore fra celle adiacenti sia inferiore ad n
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