Sia f una funzione il cui dominio include l'insieme Q+ dei numeri razionali positivi e tale che f(xy) = f(x) + f(y) qualunque siano gli elementi x, y di Q+.
a) Dimostrare che f(1) = 0.
b) Supponendo che 1 sia l'unico valore x di Q per cui f(x) = 0, dimostrare che la restrizione di f a Q+ è iniettiva.
c) In tale ipotesi, dimostrare che non esiste alcun numero razionale x per cui risulti
2f(x) = f(2).
Punto 1)
Basta porre x=y=1
f(1) = 2f(1); f(1) =0
Punto 2)
Preso a diverso da 0
f(ax)= f(x)
f(a) +f(x) = f(x)
solo se f(a) =0, cioè a=1
Punto 3)
2f(x) = f(x^2) = f(2)
per la iniettivita
x^2 =2 che non ha radici razionali.
Punto 2, maggiormente comprensibile:
Prendo x1 e x2
Con x1=ax2
f(x1) =f(x2)
f(ax2) =f(x2)
f(ax2) = f(a) + f(x2) = f(x2)
f(a) =0
a=1 quindi
f(x1) = f(x2)
Solo se x1=x2
