Sia f(x) una funzione continua in R, non identicamente nulla e con le proprietà - - - - - - - 1) f(7) = 0; - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2) f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y) - - - - - - - - - - - - - - qualunque siano i numeri reali x, y. - - - - - - - - - - Dimostrare che f(x) è una funzione periodica pari.

Nell'uguaglianza 2) sostituisco x=7, ottenendo (per la 1) f(7+y) + f(7-y) = 0;
ponendo y=7, ottengo anche f(7+x) + f(x-7) = 0.
Stante l'arbitrarietà di x e y, ottengo (per ogni x in R):
f(7+x)+f(7-x)=f(7+x)+f(x-7), che, per cancellabilità equivale a:
f(7-x) = f(-(7-x)) per ogni x in R. Ciò prova la parità di f, stante la bigettività della funzione x |---> 7-x

Periodicità. Devo provare l'esistenza di un T>0 tale che f(x)=f(x+T) per ogni x in R
Suppongo per assurdo che per ogni T>0 si abbia f(x)=/=f(x+T) per ogni x in R
e, avendo f(x)=f(-x) e f(-x)=/=f(-x+T)=f(x-T), ottengo che

per ogni T>0 e per ogni x in R: f(x)=/=f(x+T) e f(x)=/=f(x-T)
evidentemente, per ogni y=/=x vale una tra: y=x+T o y=x-T, per qualche T>0. Dunque per ogni x=/=y deve essere f(x)=/=f(y).
Da qui si deduce che la funzione f deve necessariamente essere ingettiva, proprietà non vera, stante la parità dimostrata prima.

Quale sarebbe il periodo? T