devo dire che il fatto che p sia primo non è fondamentale. Basta che p non sia un quadrato perfetto.
Comunque. Sia p primo. Si consideri il polinomio x² - p, che ha ovviamente come radici ±√p. Per il teorema delle radici razionali, eventuali radici razionali sono solo i possibili divisori di p (limitandosi alle soluzioni positive), che sono solo 1 e p. Ovviamente √p = 1 implica p = 1 (assurdo) e √p = p implica p = 0 oppure p = 1 (assurdo ancora).
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Però, per completezza, ecco la medesima dimostrazione espansa al caso in cui p non sia un quadrato perfetto (il caso p primo è un caso particolare di quest'ultimo).
Si consideri il polinomio x² - p, che ha ovviamente come radici ±√p. Per il teorema delle radici razionali, eventuali radici razionali sono solo i possibili divisori di p. Quindi (limitandosi alle soluzioni positive), esiste un intero k tale che:
√p = p/k ⇔ p = p²/k² ⇔ p = k².
Ma questo è assurdo perché, per ipotesi, p non è un quadrato perfetto.
Sia p un primo, se per assurdo sqrt(p) non è irrazionale, deve essere un razionale, quindi avrà la forma: a/b dove a e b sono interi che possiamo assumere essere coprimi. ( se non lo fossero riduciamo ai minimi termini la frazione ) Allora:
p= a^2 / b^2 da cui pb^2 = a^2 . Allora p| a^2, ma p è primo (!!!) quindi p|a. Allora a=pk con k in Z, quindi pb^2=p^2k^2 ovvero b^2=pk^2 allora p|b^2 e quindi p| b.Quindi abbiamo scoperto che p|a e p|b , questo è assurdo essendo a e b coprimi.
Se p non fosse primo,ma semplicemente un intero positivo che non è un quadrato perfetto però non saprei come fare (senza utilizzare il teorema delle radici razionali), dovrei pensarci
la dimostrazione che hai presentato si può adattare al caso in cui p non sia un quadrato perfetto. In questo caso devi scomporre p nei suoi fattori primi e di fatto ti riconduci alla tua situazione. È un po' più complicato da scrivere, ma di fatto si contano i fattori primi a sinistra e a destra dell'uguaglianza, che può tornare solo se p è un quadrato perfetto. Questa credo sia la dimostrazione più "elementare", cioè si basa solo sul teorema fondamentale dell'aritmetica. (PS: nel calcolo sotto, è possibile che alcuni o tutti gli esponenti 𝛽 siano nulli).
