sviluppando le potenze di binomio in Q(x+1/x) si ottiene un'espressione che contiene potenze intere di x (pos e neg). Uguagliando i coefficienti tra le due espressioni si ottiene un sistema lineare determinato non banale per le incognite bi, che quindi esistono sempre e quindi da qui risulta l'esistenza di Q.

Mi sembra che si possa risolvere anche con l'analisi complessa

Riporto comunque per curiosità il mio ragionamento: se interpretiamo la funzione f come funzione di variabile complessa, scrivendo f(z), allora questa dà una funzione meromorfa sul piano complesso completato a infinito ( o sfera di Riemann ) che manda 0 ed infinito in infinito, per costruzione. Ora se precomponiamo con la mappa 2:1 g: z --> z+1/z ( che è stabilizzata dall'involuzione z--> 1/z) allora vediamo che esiste una mappa Q ( a priori meromorfa) che rende commutativo il diagramma Q(g(z))=f(z). Tuttavia per costruzione g manda sia infinito che 0 in infinito e poiché questi erano i due soli poli della f si ha che Q ristretta al piano complesso è olomorfa. Ma quindi Q è una funzione razionale che stabilizza infinito senza poli in C, cioè è un polinomio.