Dimostrare che S è dotato di elemento neutro 𝘶 e che 𝘢 è simmetrizzabile.
Definizione di elemento regolare?
Un elemento 𝘢 ∈ S è regolare se è cancellabile a sinistra e a destra, cioè
a ⊥ x = a ⊥ y → x = y
x ⊥ a = y ⊥ a → x = y
per ogni x, y ∈ S.
Uso * al posto del simbolo di operazione che hai usato tu.
Consideriamo l’ applicazione
a* : S —> S
Per definizione di regolarità è iniettiva e anche suriettiva perché S è finito quindi esiste u ∈ S tale che a*u=a quindi sia x ∈ S
a*(u*x)=(a*u)*x=a*x
da cui per iniettività
u*x=x
Analogo discorso per la moltiplicazione a destra e si ottiene
x*u=x
e per dimostrare che a è simmetrizzabile?
a è simmetrizzabile rispetto a ⊥ se esiste un simmetrico di a rispetto a ⊥, cioè se esiste un elemento a' tale che a' ⊥ a = a ⊥ a' = u, dove u è l'elemento neutro di S rispetto a ⊥.
Segue dalla suriettività di a* e *a
considerando il simbolo /= per il non uguale. Sia (S,•) un semigruppo ed a un elemento regolare di S. Osservo che a=a•a perché altrimenti a•a/=a•(a•a) e a•a/=(a•a)•a ma ciò è assurdo essendo a•(a•a)=(a•a)•a quindi a=a•a. A questo punto affermo che a è elemento neutro in S. Infatti per ogni x in S a•x=(a•a)•x=a•(a•x) e quindi x=a•x; x•a=x•(a•a)=(x•a)•a e quindi x=x•a.
