In V si introduca la norma definita dalla formula
||v||=sup|v'|.
Lo spazio normato così ottenuto è completo?
Sia k numero reale. Prendi la funzione f_n continua che vale k per x<=n, ha grafico la retta che congiunge i punti (n^2, 0) e (n, k) tra n e n^2, e che vale 0 dopo n^2. Abbiamo |z-f_n|--->0 per ogni z numero reale.
Si definisca la seguente successione di funzioni:
v_n (t) = -n [1+t]^(-1/n)
Allora banalmente v_n(t) -> 0 quando t->+infinito ed inoltre
(v_n)' (t) = 1/[1+t]^(1+1/n) e quindi chiaramente è limitata, per ogni n.
A questo punto si osservi che (v_n)' converge uniformemente alla funzione v'(t) = 1/(1+t) e quindi la successione v_n è di Cauchy per la norma data. Segue che se V fosse completo allora esiste v tale che v_n -> v nel senso della norma definita e che quindi v'(t) = 1/(1+t). Tuttavia, v(t) è della forma ln(1+t) + c con c costante reale e con nessuna scelta di c è possibile fare in modo che la v(t) tenda a 0 quando t tende a + infinito. Pertanto V non è completo con la norma data.