Se tale dimensione è numerabile, qual' è la cardinalità di V?
Si, V ha la cardinalità del Continuo. Una dimostrazione un pò più estesa è la seguente: Dobbiamo considerare che ogni vettore dello spazio vettoriale V si scrive in uno ed un solo modo come combinazione vettoriale di UN NUMERO FINITO di vettori della base.
Ora, i sottoinsiemi finiti di un insieme numerabile sono in quantità numerabile. Quindi c'è un insieme numerabile di scelte possibili per quali vettori "usare". Per ogni tale scelta dobbiamo poi scegliere un numero finito di coordinate appartenenti all'insieme R \ {0}. Poiché Rⁿ ha cardinalità del continuo per ogni n, abbiamo infine l'unione di una famiglia numerabile di insiemi di cardinalità del continuo, che ha cardinalità del continuo.