Siano a, b le radici dell'equazione x² - √2x + 1 = 0. Dimostrare che si ha (a²⁰²⁴ + b²⁰²⁴)²/ [(a²⁰²³ + b²⁰²³ )(a²⁰²⁵+ b²⁰²⁵)] = 2.
Essendo a = 1/√2*(1 + i) e a = 1/√2*(1 - i) si ha:
(1) a² + b² = 0
(2) a⁴ = b⁴ -> a⁴ⁿ = b⁴ⁿ
Si ha pertanto:
(a²⁰²⁴ + b²⁰²⁴)² = (2a²⁰²⁴)² = 4a⁴⁰²⁸
(a²⁰²³ + b²⁰²³ )(a²⁰²⁵+ b²⁰²⁵)= a⁴⁰²⁸ + b⁴⁰²⁸ + a²⁰²³b²⁰²³(a² + b²) = 2a⁴⁰²⁸
da cui segue l'asserto.
a⁰+b⁰=2
a+b=√2 ab=1
(a+b)²=2
(a+b)⁴=4
a²+b²=2-2=0
(a²+b²)²=0
a⁴+b⁴+2(ab)²=0
a⁴+b⁴+2=0
a⁴+b⁴=-2
(a⁴+b⁴)²=4
a⁸+b⁸+2(ab)⁴=4
a⁸+b⁸+2=4
a⁸+b⁸=2
(a⁸+b⁸)²=4
a¹⁶+b¹⁶+2(ab)⁸=4
a¹⁶+b¹⁶=2
vista la periodicità
(a⁸ⁿ+b⁸ⁿ)²=4
(a⁸ⁿ⁻¹+b⁸ⁿ⁻¹)(a⁸ⁿ⁻¹+b⁸ⁿ⁻¹)=
=a¹⁶ⁿ+b¹⁶ⁿ+(a²+b²)(ab)⁸ⁿ⁻¹=a¹⁶ⁿ+b¹⁶ⁿ=2
2024=8·253
quindi ho
(a⁸ⁿ+b⁸ⁿ)²=4=2(a⁸ⁿ⁻¹+b⁸ⁿ⁻¹)(a⁸ⁿ⁻¹+b⁸ⁿ⁻¹)
con
(a⁸ⁿ⁻¹+b⁸ⁿ⁻¹)(a⁸ⁿ⁻¹+b⁸ⁿ⁻¹)=2
e
(a²⁰²⁴ + b²⁰²⁴)²/
[(a²⁰²³ + b²⁰²³ )(a²⁰²⁵+ b²⁰²⁵)] = 2
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